¿Cuál es el “ingreso típico” de un grupo de personas? La respuesta cambia según uses la media, la mediana o la moda, y elegir mal lleva a conclusiones equivocadas sobre un negocio, una política pública o un modelo de IA.
En este capítulo trabajas media, mediana y moda de forma aplicada: las defines, las calculas, las comparas, mides cuánto las mueve un valor extremo y terminas con un criterio para decidir cuál reportar. También ves dónde reaparecen al entrenar un modelo: en la función de pérdida, en el modelo base y en la imputación de faltantes.
Los datos son sintéticos: 60 personas con ingreso mensual, edad, ciudad y segmento de cliente, generados con NumPy dentro del capítulo. El ingreso sigue una distribución lognormal, así que trae una cola de ingresos altos que separa la media de la mediana.
dtype frente a tipo estadístico, faltantes) y Python básico con pandas.Al terminar este capítulo vas a ser capaz de:
Ejecuta las celdas en orden: cada etapa usa variables de las anteriores.
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
La media es el centro de gravedad: la suma de las desviaciones respecto a ella es cero (\(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\)). Tiene sentido en variables cuantitativas; no puedes calcularla sobre categorías nominales.
Es el valor que queda en la posición central una vez ordenados los datos. Si \(n\) es impar, es el valor en la posición \(\frac{n+1}{2}\); si es par, el promedio de los dos valores centrales. Coincide con el percentil 50 (P50).
Solo depende de qué valor ocupa la posición central, no de la magnitud de los extremos. Por eso es robusta ante valores atípicos y es la medida preferida para variables ordinales o distribuciones asimétricas. En una variable ordinal con \(n\) par no se promedian categorías: si las dos centrales difieren, reportas ambas.
Es el valor (o la categoría) de mayor frecuencia, y la única medida de tendencia central con sentido para variables cualitativas nominales. Una distribución puede ser unimodal, bimodal o multimodal. En variables continuas la moda exacta suele decir poco; conviene hablar de intervalo modal.
| Tipo de variable | Media | Mediana | Moda |
|---|---|---|---|
| Cuantitativa (simétrica, sin valores atípicos) | ✓ Resumen principal | ✓ Complemento | Opcional |
| Cuantitativa (asimétrica o con valores atípicos) | Sensible | ✓ Preferible | Opcional |
| Ordinal | Poco recomendable | ✓ Preferible | ✓ Útil |
| Nominal | No tiene sentido | No tiene sentido | ✓ Única opción |
Cada medida es el valor \(c\) que mejor resume los datos según una forma distinta de medir el error:
\[ \bar{x} = \arg\min_{c} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)^2 \qquad\qquad \text{mediana} = \arg\min_{c} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i - c| \]
La media minimiza el error cuadrático medio (MSE); la mediana, el error absoluto medio (MAE). Como el cuadrado castiga mucho los errores grandes, la media se desplaza hacia los extremos para no quedar lejos de ellos. Estas dos pérdidas reaparecen como métricas de error en el capítulo 13 (regresión lineal) y el capítulo 15 (validación).
\[ \bar{x}_w = \frac{\sum_{i} w_i\, x_i}{\sum_{i} w_i} \]
La usas cuando las observaciones no pesan lo mismo; por ejemplo, al combinar las medias de grupos de tamaños distintos (\(w_i = n_i\)).
Ordenas los datos, descartas una proporción \(\alpha\) en cada extremo (por ejemplo, el 10%) y promedias el resto. Queda a medio camino: usa más información que la mediana y es menos sensible que la media.
La media incluye todos los valores: un solo dato muy grande puede arrastrar el promedio hacia arriba. La mediana depende de las posiciones centrales de los datos ordenados y cambia mucho menos ante un valor extremo.
Toma los datos [2.5, 2.7, 2.8, 2.9, 3.0, 3.1, 3.2]. Su media y su mediana están cerca de 2.9. Si agregas el valor 25, la media sube de forma marcada y la mediana apenas cambia (lo compruebas en la etapa 7).
Un valor extremo puede ser un error de captura o una observación real; aquí te interesa su efecto sobre las medidas de centro. En los capítulos 3 y 4 vas a cuantificar la dispersión, describir la forma de la distribución y detectar anomalías.
El punto de ruptura formaliza esta idea: es la fracción de datos contaminados a partir de la cual una medida puede tomar cualquier valor. Para la media es \(1/n\) (basta un dato); para la mediana, el 50%.
Las medidas de tendencia central aparecen dentro de los modelos, no solo en los reportes:
Idea central: ninguna medida es la mejor en todos los casos. La elección depende del tipo de variable, de los datos y de la pregunta, y esa misma elección reaparece al entrenar y evaluar modelos.
“Para
[variable], la media es___y la mediana es___. Se reporta[medida]como medida principal porque[justificación contextual].”
%matplotlib inline
%config InlineBackend.figure_format = "retina"
import sys
print("Python:", sys.version.split()[0])
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
print("pandas:", pd.__version__, "| numpy:", np.__version__)
SEMILLA = 7 # semilla central del capítulo
rng = np.random.default_rng(SEMILLA)Python: 3.13.14
pandas: 3.0.5 | numpy: 2.5.1Para no interrumpir la lectura de cada etapa con bloques largos de matplotlib, aquí defines una sola vez todas las funciones de graficación. En cada etapa solo llamas a la que corresponde.
from matplotlib.ticker import MaxNLocator
def graficar_centro(x, titulo, xlabel, bins=20, ax=None):
"""Histograma con líneas verticales en la media y la mediana."""
standalone = ax is None
if standalone:
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4))
x = np.asarray(x, dtype=float)
ax.hist(x, bins=bins, alpha=0.75, edgecolor="white")
ax.axvline(np.mean(x), color="C3", linestyle="--", linewidth=2, label=f"Media = {np.mean(x):,.0f}")
ax.axvline(np.median(x), color="C2", linewidth=2, label=f"Mediana = {np.median(x):,.0f}")
ax.set_xlabel(xlabel)
ax.set_ylabel("Frecuencia")
ax.set_title(titulo)
ax.legend(fontsize=9)
if standalone:
plt.tight_layout()
plt.show()
def graficar_perdidas(x):
"""MSE(c) y MAE(c) al resumir los datos con una constante c: sus mínimos son la media y la mediana."""
x = np.asarray(x, dtype=float)
c = np.unique(np.concatenate([np.linspace(np.min(x), np.percentile(x, 95), 400),
x, [np.mean(x), np.median(x)]]))
c = c[c <= np.percentile(x, 95)]
mse = ((x[None, :] - c[:, None]) ** 2).mean(axis=1)
mae = np.abs(x[None, :] - c[:, None]).mean(axis=1)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4), constrained_layout=True)
for ax, curva, nombre, centro, color, etiqueta in [
(axes[0], mse, "MSE(c)", np.mean(x), "C3", "Media"),
(axes[1], mae, "MAE(c)", np.median(x), "C2", "Mediana"),
]:
ax.plot(c, curva)
en_minimo = c[curva <= curva.min() * (1 + 1e-12)]
if en_minimo.max() > en_minimo.min():
ax.axvspan(en_minimo.min(), en_minimo.max(), color="0.6", alpha=0.35,
label=f"Tramo mínimo = [{en_minimo.min():,.0f}, {en_minimo.max():,.0f}]")
else:
ax.plot(en_minimo, [curva.min()], "ko", label=f"Mínimo de la curva = {en_minimo[0]:,.0f}")
ax.axvline(centro, color=color, linestyle="--", label=f"{etiqueta} = {centro:,.0f}")
ax.set_xlabel("Constante c usada como resumen")
ax.set_ylabel(nombre)
ax.set_title(f"{nombre}: el mínimo está en la {etiqueta.lower()}")
ax.legend(fontsize=8)
plt.show()
def graficar_frecuencias(series, ordenes=None):
"""Barras de frecuencia; la moda se resalta. Una variable ordinal se dibuja en su orden natural."""
ordenes = ordenes or [None] * len(series)
fig, axes = plt.subplots(1, len(series), figsize=(5.5 * len(series), 3.8), constrained_layout=True)
for ax, s, orden in zip(np.atleast_1d(axes), series, ordenes):
conteo = s.value_counts() if orden is None else s.value_counts().reindex(orden)
colores = ["C1" if v == conteo.max() else "C0" for v in conteo.values]
barras = ax.bar(conteo.index.astype(str), conteo.values, color=colores)
for barra, v in zip(barras, conteo.values):
if v == conteo.max():
barra.set_hatch("//")
tipo = "nominal, ordenada por frecuencia" if orden is None else "ordinal, en su orden natural"
ax.set_title(f"{s.name} ({tipo})\nla moda es la barra resaltada", fontsize=10)
ax.set_ylabel("Frecuencia")
plt.show()
def graficar_moda_discreta_continua(discreta, continua, ancho_intervalo):
"""Moda en una variable discreta (barras) frente a intervalo modal en una continua (histograma)."""
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4), constrained_layout=True)
conteo = discreta.value_counts().sort_index()
colores = ["C1" if v == conteo.max() else "C0" for v in conteo.values]
barras = axes[0].bar(conteo.index, conteo.values, color=colores)
for barra, v in zip(barras, conteo.values):
if v == conteo.max():
barra.set_hatch("//")
axes[0].set_title(f"{discreta.name} (discreta): moda(s) resaltada(s)")
axes[0].set_xlabel(discreta.name)
axes[0].set_ylabel("Frecuencia")
bordes = np.arange(0, continua.max() + ancho_intervalo, ancho_intervalo)
frec, bordes, parches = axes[1].hist(continua, bins=bordes, edgecolor="white")
parches[int(np.argmax(frec))].set_facecolor("C1")
parches[int(np.argmax(frec))].set_hatch("//")
axes[1].set_title(f"{continua.name} (continua): intervalo modal resaltado")
axes[1].set_xlabel(f"{continua.name} (intervalos de {ancho_intervalo:,})")
axes[1].set_ylabel("Frecuencia")
for ax in axes:
ax.yaxis.set_major_locator(MaxNLocator(integer=True))
plt.show()
def graficar_ruptura(porcentajes, medias, medianas, recortadas, referencia):
"""Cómo cambian media, mediana y media recortada al contaminar una fracción creciente de datos."""
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4.2))
ax.plot(porcentajes, medias, marker="o", color="C3", label="Media")
ax.plot(porcentajes, recortadas, marker="^", color="C1", label="Media recortada 10%")
ax.plot(porcentajes, medianas, marker="s", color="C2", label="Mediana")
ax.axhline(referencia, color="0.3", linestyle=":", label=f"Mediana sin contaminar = {referencia:,.0f}")
ax.set_yscale("log")
ax.set_xlabel("% de datos reemplazados por valores extremos")
ax.set_ylabel("Valor de la medida (escala log)")
ax.set_title("Punto de ruptura: cuántos datos malos aguanta cada medida")
ax.legend(fontsize=8)
plt.tight_layout()
plt.show()
def graficar_centro_por_grupo(tabla, mediana_global):
"""Media y mediana por grupo, con la mediana global como referencia."""
x = np.arange(len(tabla))
w = 0.38
fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 4))
ax.bar(x - w / 2, tabla["media"], width=w, color="C3", alpha=0.8, label="Media")
ax.bar(x + w / 2, tabla["mediana"], width=w, color="C2", alpha=0.8, hatch="//", edgecolor="white", label="Mediana")
for xi, n_i in zip(x, tabla["n"]):
ax.text(xi, 150, f"n={n_i}", ha="center", color="white", fontsize=9)
ax.axhline(mediana_global, color="0.3", linestyle=":", label=f"Mediana global = {mediana_global:,.0f}")
ax.set_xticks(x)
ax.set_xticklabels(tabla.index)
ax.set_ylabel("Ingreso mensual")
ax.set_title("Centro por ciudad: media y mediana")
ax.legend(fontsize=8)
plt.tight_layout()
plt.show()
def graficar_imputacion(observado, imputado_media, imputado_mediana, bins):
"""Distribución observada frente a la distribución tras imputar con media o mediana."""
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4), sharey=True, constrained_layout=True)
for ax, imputado, nombre, color in [
(axes[0], imputado_media, "media", "C3"),
(axes[1], imputado_mediana, "mediana", "C2"),
]:
ax.hist(imputado, bins=bins, color=color, alpha=0.55, label=f"Tras imputar con la {nombre}")
ax.hist(observado, bins=bins, histtype="step", color="black", linewidth=1.5, label="Solo valores observados")
ax.set_title(f"Imputación con la {nombre}: un pico artificial")
ax.set_xlabel("Ingreso mensual")
ax.yaxis.set_major_locator(MaxNLocator(integer=True))
ax.legend(fontsize=8)
axes[0].set_ylabel("Frecuencia")
plt.show()
def graficar_salarios(salarios, etiquetas):
"""Salarios ordenados con media y mediana: ¿cuántas personas ganan 'el promedio'?"""
orden = np.argsort(salarios)
s = np.asarray(salarios)[orden]
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 4))
barras = ax.bar(np.arange(len(s)), s / 1e6, color=["C1" if e != "Equipo" else "C0" for e in np.asarray(etiquetas)[orden]])
for barra, e in zip(barras, np.asarray(etiquetas)[orden]):
if e != "Equipo":
barra.set_hatch("//")
ax.axhline(np.mean(s) / 1e6, color="C3", linestyle="--", linewidth=2, label=f"Media = {np.mean(s)/1e6:.2f} M")
ax.axhline(np.median(s) / 1e6, color="C2", linewidth=2, label=f"Mediana = {np.median(s)/1e6:.2f} M")
ax.set_xlabel("25 empleados ordenados por salario (azul: equipo; naranja con trama: directivos y fundador)")
ax.set_ylabel("Salario mensual (millones)")
ax.set_title("¿Cuántas personas ganan el 'salario promedio'?")
ax.set_xticks([])
ax.legend(fontsize=9)
plt.tight_layout()
plt.show()Avanzas en este orden: construyes los datos, calculas las medidas de centro, ves qué minimiza cada una, estudias la moda en variables cualitativas, discretas y continuas, mides la sensibilidad y el punto de ruptura, comparas grupos y, al final, llevas la elección de la medida a dos decisiones de machine learning: la imputación y la función de pérdida.
Generas 60 registros con una semilla fija: ciudad (Bogotá 40%, Medellín 25%, Cali 20%, Barranquilla 15%), segmento (Básico 50%, Estándar 30%, Premium 20%), edad entera entre 21 y 55 años e ingreso mensual lognormal con mediana teórica de 2,750 y dispersión 0.62 en escala logarítmica, redondeado a decenas.
n = 60
ciudad = rng.choice(
["Bogotá", "Medellín", "Cali", "Barranquilla"],
size=n, p=[0.40, 0.25, 0.20, 0.15]
)
segmento = rng.choice(
["Básico", "Estándar", "Premium"],
size=n, p=[0.50, 0.30, 0.20]
)
edad = rng.integers(21, 56, size=n)
# La generación incluye algunos ingresos altos para comparar media y mediana
ingreso_mensual = np.round(rng.lognormal(mean=np.log(2750), sigma=0.62, size=n), -1)
df = pd.DataFrame({
"ingreso_mensual": ingreso_mensual,
"edad": edad,
"ciudad": ciudad,
"segmento": segmento,
})
print(f"Dataset: {len(df)} registros")
display(df.head(10))Dataset: 60 registros| ingreso_mensual | edad | ciudad | segmento | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 2770.0 | 54 | Medellín | Estándar |
| 1 | 1790.0 | 21 | Barranquilla | Estándar |
| 2 | 2250.0 | 51 | Cali | Estándar |
| 3 | 1940.0 | 42 | Bogotá | Básico |
| 4 | 2760.0 | 37 | Bogotá | Básico |
| 5 | 2180.0 | 48 | Barranquilla | Básico |
| 6 | 2280.0 | 54 | Bogotá | Básico |
| 7 | 1170.0 | 38 | Cali | Básico |
| 8 | 1670.0 | 24 | Cali | Premium |
| 9 | 7670.0 | 46 | Medellín | Básico |
Tienes 60 registros con ingreso, edad, ciudad y segmento.
ciudad es cualitativa nominal (las ciudades no tienen orden); segmento es cualitativa ordinal (Básico < Estándar < Premium); ingreso_mensual y edad son cuantitativas.ingreso_mensual: a mano, con NumPy y con pandasvalores = df["ingreso_mensual"].to_numpy()
n_valores = len(valores)
media_manual = valores.sum() / n_valores
media_numpy = np.mean(valores)
ordenados = np.sort(valores)
mediana_manual = (
(ordenados[(n_valores - 1) // 2] + ordenados[n_valores // 2]) / 2
if n_valores % 2 == 0 else ordenados[n_valores // 2]
)
mediana_numpy = np.median(valores)
moda_ingreso = df["ingreso_mensual"].mode().tolist()
print("Media (manual):", round(media_manual, 2))
print("Media (NumPy):", round(media_numpy, 2))
print("Mediana (manual):", round(mediana_manual, 2))
print("Mediana (NumPy):", round(mediana_numpy, 2))
print("Moda (pandas):", moda_ingreso[:6], "..." if len(moda_ingreso) > 6 else "")
print("\nDiferencia media - mediana:", round(media_numpy - mediana_numpy, 2))
print("Diferencia relativa:", round((media_numpy - mediana_numpy) / mediana_numpy * 100, 1), "%")Media (manual): 3189.33
Media (NumPy): 3189.33
Mediana (manual): 2605.0
Mediana (NumPy): 2605.0
Moda (pandas): [1170.0, 1940.0, 2010.0, 2280.0, 2520.0]
Diferencia media - mediana: 584.33
Diferencia relativa: 22.4 %El cálculo a mano y el de NumPy coinciden: la media es 3,189.33 y la mediana 2,605, una diferencia de 584.33 (22.4%). Los ingresos altos suben la media porque esta usa la magnitud de todas las observaciones.
Los números de la etapa 2 se entienden mejor sobre el histograma: ¿hacia dónde se inclina la distribución y dónde queda cada medida?
graficar_centro(df["ingreso_mensual"], "Ingreso mensual: dónde caen la media y la mediana", "Ingreso mensual", bins=15)
por_debajo_media = (df["ingreso_mensual"] < df["ingreso_mensual"].mean()).mean() * 100
print(f"Registros por debajo de la media: {por_debajo_media:.1f}%")
print(f"Registros por debajo de la mediana: {(df['ingreso_mensual'] < df['ingreso_mensual'].median()).mean() * 100:.1f}%")
Registros por debajo de la media: 60.0%
Registros por debajo de la mediana: 50.0%La mayoría de los ingresos se concentra entre 1,000 y 3,000, y unos pocos valores altos (hasta cerca de 8,800) forman una cola hacia la derecha.
Si tuvieras que resumir los 60 ingresos con un solo número \(c\), ¿cuál elegirías? Depende de cómo midas el error. Evalúas todos los \(c\) posibles con dos pérdidas:
\[ \text{MSE}(c) = \frac{1}{n}\sum_i (x_i - c)^2 \qquad \text{MAE}(c) = \frac{1}{n}\sum_i |x_i - c| \]
x_ing = df["ingreso_mensual"].to_numpy()
print("Suma de desviaciones respecto a la media:", round(np.sum(x_ing - x_ing.mean()), 6) + 0.0)
print("Suma de desviaciones respecto a la mediana:", round(np.sum(x_ing - np.median(x_ing)), 2))
graficar_perdidas(x_ing)Suma de desviaciones respecto a la media: 0.0
Suma de desviaciones respecto a la mediana: 35060.0
Las desviaciones respecto a la media suman 0: la media es el punto de equilibrio. Respecto a la mediana suman +35,060, que es \(n\,(\bar{x} - \text{mediana}) = 60 \times 584.33\): los valores altos pesan por su magnitud, no solo por su posición.
ciudad y segmento)print("Moda de ciudad:", df["ciudad"].mode().tolist())
print("Moda de segmento:", df["segmento"].mode().tolist())
print("\nFrecuencias por ciudad:")
print(df["ciudad"].value_counts())
print("\nFrecuencias por segmento:")
print(df["segmento"].value_counts())Moda de ciudad: ['Bogotá']
Moda de segmento: ['Básico']
Frecuencias por ciudad:
ciudad
Bogotá 25
Medellín 18
Cali 9
Barranquilla 8
Name: count, dtype: int64
Frecuencias por segmento:
segmento
Básico 28
Estándar 18
Premium 14
Name: count, dtype: int64# segmento es ordinal: además de la moda admite la mediana (la categoría en la posición central)
orden_segmento = ["Básico", "Estándar", "Premium"]
codigos_seg = np.sort(pd.Categorical(df["segmento"], categories=orden_segmento, ordered=True).codes)
n_seg = len(codigos_seg)
centrales = [orden_segmento[codigos_seg[n_seg // 2 - 1]], orden_segmento[codigos_seg[n_seg // 2]]]
print(f"segmento ordenado: categorías en las posiciones {n_seg // 2} y {n_seg // 2 + 1} ->", centrales)
graficar_frecuencias([df["ciudad"], df["segmento"]], ordenes=[None, orden_segmento])segmento ordenado: categorías en las posiciones 30 y 31 -> ['Estándar', 'Estándar']
La moda de ciudad es Bogotá (25 de 60 registros, 42%) y la de segmento es Básico (28 de 60, 47%). En el gráfico, la moda es la barra naranja y también la más alta.
ciudad (nominal) la moda es la única medida de centro válida: no existe una “media” ni una “mediana” de ciudades, codifiques como codifiques las categorías.segmento es ordinal, así que además admite la mediana: al ordenar los 60 registros, las posiciones 30 y 31 caen en Estándar. Moda y mediana responden cosas distintas: el segmento más frecuente es Básico, pero 32 de los 60 clientes (53%) están en Estándar o por encima. Por eso el gráfico de segmento respeta el orden Básico → Estándar → Premium en lugar de ordenar por frecuencia.En una variable discreta, la moda informa cuando hay pocos valores posibles y muchos registros (número de hijos, número de compras). La edad en años cumplidos es discreta (capítulo 1), pero tiene 35 valores posibles para 60 registros: vas a ver qué tan informativa resulta. En una variable continua (ingreso) casi ningún valor se repite y la moda exacta depende del redondeo. Lo útil es el intervalo modal: el intervalo del histograma con más observaciones.
print("Moda(s) de edad:", df["edad"].mode().tolist())
print("Frecuencia de la moda de edad:", df["edad"].value_counts().max(), "de", len(df))
ancho = 1000
intervalos = pd.cut(df["ingreso_mensual"], bins=np.arange(0, df["ingreso_mensual"].max() + ancho, ancho))
conteo_int = intervalos.value_counts().sort_index()
print("\nIngreso mensual agrupado en intervalos de", ancho)
print(conteo_int[conteo_int > 0])
print("\nIntervalo modal:", conteo_int.idxmax(), "con", conteo_int.max(), "registros")
print("Moda exacta de ingreso (pandas):", df["ingreso_mensual"].mode().tolist()[:5], "...")
graficar_moda_discreta_continua(df["edad"], df["ingreso_mensual"], ancho)Moda(s) de edad: [54]
Frecuencia de la moda de edad: 7 de 60
Ingreso mensual agrupado en intervalos de 1000
ingreso_mensual
(0.0, 1000.0] 2
(1000.0, 2000.0] 16
(2000.0, 3000.0] 18
(3000.0, 4000.0] 6
(4000.0, 5000.0] 10
(5000.0, 6000.0] 2
(6000.0, 7000.0] 3
(7000.0, 8000.0] 2
(8000.0, 9000.0] 1
Name: count, dtype: int64
Intervalo modal: (2000.0, 3000.0] con 18 registros
Moda exacta de ingreso (pandas): [1170.0, 1940.0, 2010.0, 2280.0, 2520.0] ...
En edad, la moda es 54 años, con 7 de 60 registros: un valor en el extremo superior del rango (21 a 55), lejos del centro del grupo. Con 60 registros y 35 edades posibles, la moda describe poco: es el valor que más se repitió por azar.
ingreso_mensual, la moda exacta devuelve varios valores empatados (etapa 2) y ninguno representa al grupo. El intervalo modal (2,000–3,000], con 18 de 60 registros, sí responde una pregunta útil: ¿dónde se concentra la mayoría?Usas los siete datos de la sección de sensibilidad (Sección 2.1) y les agregas un 25.
datos_sin_extremo = np.array([2.5, 3.0, 2.8, 3.2, 2.9, 3.1, 2.7])
datos_con_extremo = np.append(datos_sin_extremo, 25.0)
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
ax = axes[0]
ax.vlines(np.mean(datos_sin_extremo), 0, 1, colors="C3", label="Media", linewidth=2)
ax.vlines(np.median(datos_sin_extremo), 0, 0.7, colors="C2", linestyles="--", label="Mediana", linewidth=2)
ax.scatter(datos_sin_extremo, np.zeros_like(datos_sin_extremo) + 0.3, alpha=0.7)
ax.set_title("Sin valor extremo")
ax.set_yticks([]) # el eje vertical no representa ninguna magnitud
ax.legend()
ax.set_xlabel("Valor")
ax = axes[1]
ax.vlines(np.mean(datos_con_extremo), 0, 1, colors="C3", label="Media", linewidth=2)
ax.vlines(np.median(datos_con_extremo), 0, 0.7, colors="C2", linestyles="--", label="Mediana", linewidth=2)
ax.scatter(datos_con_extremo, np.zeros_like(datos_con_extremo) + 0.3, alpha=0.7)
ax.set_title("Con un valor extremo (25)")
ax.set_yticks([])
ax.legend()
ax.set_xlabel("Valor")
plt.tight_layout()
plt.show()
print("Sin valor extremo — Media:", round(np.mean(datos_sin_extremo), 2), "| Mediana:", np.median(datos_sin_extremo))
print("Con valor extremo — Media:", round(np.mean(datos_con_extremo), 2), "| Mediana:", round(np.median(datos_con_extremo), 2))
Sin valor extremo — Media: 2.89 | Mediana: 2.9
Con valor extremo — Media: 5.65 | Mediana: 2.95Al añadir el valor 25, cuando los demás datos están entre 2.5 y 3.2, la media pasa de 2.89 a 5.65 y la mediana de 2.90 a 2.95.
La media recortada al 10% descarta el 10% más bajo y el 10% más alto de los datos ordenados y promedia el resto. La comparas con la media y la mediana sobre el ingreso, antes y después de agregar un ingreso extremo de 250,000.
def media_recortada(x, proporcion=0.10):
x = np.sort(np.asarray(x, dtype=float))
k = int(np.floor(proporcion * len(x)))
return x[k:len(x) - k].mean()
ingreso_con_extremo = np.append(x_ing, 250_000)
comparacion = pd.DataFrame({
"sin extremo": [np.mean(x_ing), np.median(x_ing), media_recortada(x_ing)],
"con un ingreso de 250,000": [np.mean(ingreso_con_extremo), np.median(ingreso_con_extremo),
media_recortada(ingreso_con_extremo)],
}, index=["media", "mediana", "media recortada 10%"])
comparacion["cambio"] = comparacion.iloc[:, 1] - comparacion.iloc[:, 0]
print(comparacion.round(1)) sin extremo con un ingreso de 250,000 cambio
media 3189.3 7235.4 4046.1
mediana 2605.0 2690.0 85.0
media recortada 10% 2946.9 3015.1 68.2Un solo ingreso de 250,000 entre 60 registros mueve la media en +4,046.1 (de 3,189.3 a 7,235.4). La mediana cambia +85 y la media recortada +68.2.
Reemplazas una fracción creciente de los ingresos por un valor absurdo (100 veces el máximo, como un error de captura con ceros de más) y sigues cada medida.
rng_rup = rng # mismo generador central
orden_contaminacion = rng_rup.permutation(len(x_ing))
valor_malo = x_ing.max() * 100
porcentajes, medias, medianas, recortadas = [], [], [], []
for k in [0, 1] + list(range(3, len(x_ing) // 2 + 1, 3)):
x_cont = x_ing.copy()
x_cont[orden_contaminacion[:k]] = valor_malo
porcentajes.append(100 * k / len(x_ing))
medias.append(np.mean(x_cont))
medianas.append(np.median(x_cont))
recortadas.append(media_recortada(x_cont))
tabla_ruptura = pd.DataFrame({"%_contaminado": porcentajes, "media": medias,
"media_recortada_10%": recortadas, "mediana": medianas})
print(f"Máximo de los datos buenos: {x_ing.max():,.0f} | valor contaminante: {valor_malo:,.0f}\n")
print(tabla_ruptura.round(1).to_string(index=False))
graficar_ruptura(porcentajes, medias, medianas, recortadas, np.median(x_ing))Máximo de los datos buenos: 8,820 | valor contaminante: 882,000
%_contaminado media media_recortada_10% mediana
0.0 3189.3 2946.9 2605.0
1.7 17831.2 3005.2 2605.0
5.0 47183.0 3223.3 2735.0
10.0 91173.0 3575.8 2830.0
15.0 135150.7 58544.2 3345.0
20.0 179035.7 113400.4 3565.0
25.0 222975.5 168325.2 4020.0
30.0 266916.8 223251.9 4470.0
35.0 310936.5 278274.8 4800.0
40.0 354833.8 333146.5 5325.0
45.0 398662.8 387932.7 6435.0
50.0 442648.2 442914.4 444835.0
La media se dispara con un solo dato contaminado (1.7% de 60): pasa de 3,189 a 17,831, el doble del ingreso máximo real (8,820). Su punto de ruptura es un dato.
Al comparar ciudades aparece un error frecuente: promediar las medias de cada grupo como si todos los grupos tuvieran el mismo tamaño.
por_ciudad = (df.groupby("ciudad")["ingreso_mensual"]
.agg(n="count", media="mean", mediana="median")
.sort_values("n", ascending=False))
print(por_ciudad.round(1))
promedio_de_promedios = por_ciudad["media"].mean()
media_ponderada = np.average(por_ciudad["media"], weights=por_ciudad["n"])
print(f"\nPromedio simple de las medias por ciudad: {promedio_de_promedios:,.1f}")
print(f"Media ponderada por n: {media_ponderada:,.1f}")
print(f"Media global de los 60 registros: {df['ingreso_mensual'].mean():,.1f}")
graficar_centro_por_grupo(por_ciudad, df["ingreso_mensual"].median()) n media mediana
ciudad
Bogotá 25 3283.6 2760.0
Medellín 18 3443.9 3035.0
Cali 9 3137.8 2280.0
Barranquilla 8 2380.0 1965.0
Promedio simple de las medias por ciudad: 3,061.3
Media ponderada por n: 3,189.3
Media global de los 60 registros: 3,189.3
Barranquilla tiene el centro más bajo (mediana 1,965) y Medellín el más alto (mediana 3,035). En todas las ciudades la media supera a la mediana: la cola de ingresos altos aparece dentro de cada grupo.
Antes de entrenar un modelo, los faltantes suelen rellenarse con una medida de centro. Simulas que el 25% de los ingresos (15 de 60) no se registró y comparas las dos opciones más comunes.
rng_imp = rng # mismo generador central
ingreso_obs = df["ingreso_mensual"].copy()
faltan = rng_imp.choice(len(ingreso_obs), size=15, replace=False)
ingreso_obs.iloc[faltan] = np.nan
observados = ingreso_obs.dropna()
imp_media = ingreso_obs.fillna(observados.mean())
imp_mediana = ingreso_obs.fillna(observados.median())
def resumen_centro(s):
return pd.Series({"media": s.mean(), "mediana": s.median(),
"valor_mas_repetido": s.value_counts().index[0],
"repeticiones": s.value_counts().iloc[0]})
resumen_imp = pd.DataFrame({
"completo (referencia)": resumen_centro(df["ingreso_mensual"]),
"imputado con media": resumen_centro(imp_media),
"imputado con mediana": resumen_centro(imp_mediana),
}).T
resumen_imp["repeticiones"] = resumen_imp["repeticiones"].astype(int)
print(f"Faltantes: {ingreso_obs.isna().sum()} de {len(ingreso_obs)}")
print(f"Valor usado — media: {observados.mean():,.1f} | mediana: {observados.median():,.1f}")
print()
print(resumen_imp.round(1))
graficar_imputacion(observados, imp_media, imp_mediana, bins=np.arange(0, 11000, 500))Faltantes: 15 de 60
Valor usado — media: 3,391.1 | mediana: 2,760.0
media mediana valor_mas_repetido repeticiones
completo (referencia) 3189.3 2605.0 1940.0 2
imputado con media 3391.1 3391.1 3391.1 15
imputado con mediana 3233.3 2760.0 2760.0 16
Las dos imputaciones crean un pico artificial: en los datos completos ningún ingreso se repite más de 2 veces; tras imputar, un mismo valor aparece 15 veces (media) o 16 (mediana, porque 2,760 ya existía). La moda del ingreso pasa a ser el valor imputado, un valor que nadie reportó.
Una empresa ficticia de 25 personas publica una oferta: “salario promedio del equipo: más de 6 millones”. Los salarios son simulados: 22 personas del equipo con salarios alrededor de 3.6 millones, dos directivos con 14 y 16 millones y un fundador con 60 millones. La frase es verdadera; la pregunta es si describe lo que ganará quien entre.
rng_sal = rng # mismo generador central
equipo = np.round(rng_sal.normal(3_600_000, 450_000, size=22), -4)
directivos = np.array([14_000_000, 16_000_000])
fundador = np.array([60_000_000])
salarios = np.concatenate([equipo, directivos, fundador])
etiquetas = ["Equipo"] * len(equipo) + ["Directivo"] * 2 + ["Fundador"]
media_sal, mediana_sal = salarios.mean(), np.median(salarios)
print(f"Media: {media_sal:,.0f}")
print(f"Mediana: {mediana_sal:,.0f}")
print(f"Personas que ganan más que la media: {(salarios > media_sal).sum()} de {len(salarios)}")
print(f"Media sin el fundador: {salarios[:-1].mean():,.0f}")
graficar_salarios(salarios, etiquetas)Media: 6,771,200
Mediana: 3,700,000
Personas que ganan más que la media: 3 de 25
Media sin el fundador: 4,553,333
La media (6,771,200) es correcta y engañosa: solo 3 de 25 personas, los dos directivos y el fundador, ganan más que ella. Las 22 personas del equipo están por debajo.
Aplicas el flujo de Sección 2.3 al ingreso mensual del dataset de este capítulo.
media_i, mediana_i = df["ingreso_mensual"].mean(), df["ingreso_mensual"].median()
dif_rel = (media_i - mediana_i) / mediana_i * 100
medida = "mediana" if abs(dif_rel) > 10 else "media"
print("Variable: ingreso_mensual (cuantitativa continua, unidades monetarias)")
print(f"n = {df['ingreso_mensual'].count()} | media = {media_i:,.1f} | mediana = {mediana_i:,.1f} | "
f"media recortada 10% = {media_recortada(df['ingreso_mensual']):,.1f}")
print(f"Diferencia relativa media vs mediana: {dif_rel:.1f}%")
print(f"Medida principal sugerida: {medida}")Variable: ingreso_mensual (cuantitativa continua, unidades monetarias)
n = 60 | media = 3,189.3 | mediana = 2,605.0 | media recortada 10% = 2,946.9
Diferencia relativa media vs mediana: 22.4%
Medida principal sugerida: medianaLa diferencia relativa de 22.4% supera el umbral de 10% que usa el código, así que la medida sugerida es la mediana. Con eso redactas el reporte:
“Para
ingreso_mensual(\(n=60\)), la media es 3,189.3 y la mediana es 2,605; la media está un 22.4% por encima porque la distribución tiene una cola de ingresos altos. Se reporta la mediana como medida principal, acompañada de la media recortada al 10% (2,946.9) como referencia. Por ciudad, se reportan medianas con el tamaño de cada grupo, y cualquier combinación de medias entre ciudades se pondera por \(n\). Limitación: datos sintéticos, 60 registros; con grupos de 8 o 9 personas, las medianas por ciudad son inestables.”
El umbral del 10% es una regla práctica de este capítulo; en un reporte real, lo que cuenta es la razón de la elección.
| Situación | Medida principal | Justificación |
|---|---|---|
Variable nominal (ciudad) |
Moda | Identifica la categoría más frecuente; media y mediana no tienen interpretación. |
Variable ordinal (segmento, escala de satisfacción) |
Mediana o moda | Conservan el orden sin suponer distancias iguales entre categorías. |
| Variable cuantitativa sin valores extremos relevantes | Media | Usa todas las observaciones y representa el promedio aritmético. |
| Variable cuantitativa con valores extremos | Mediana, acompañada por la media | La mediana es menos sensible; comparar ambas muestra el efecto de los extremos. |
| Variable continua, pregunta “¿dónde se concentran?” | Intervalo modal | La moda exacta depende del redondeo. |
| Un promedio que no dependa de unos pocos extremos | Media recortada | Usa la mayoría de los datos y descarta los extremos con una regla fija. |
| Combinar medias de grupos de distinto tamaño | Media ponderada | El promedio simple de medias sobrerrepresenta a los grupos pequeños. |
Regla de comunicación: indica siempre la variable, el valor, la unidad y la razón por la que elegiste esa medida.
SimpleImputer con las estrategias mean, median y most_frequent, y el indicador de faltantes (add_indicator).Media, mediana y moda responden preguntas distintas: la media es el punto de equilibrio y minimiza el error cuadrático; la mediana es la posición central y minimiza el error absoluto; la moda es lo más frecuente y es la única válida para categorías nominales.
ciudad solo la moda (Bogotá); en segmento, moda (Básico) y mediana (Estándar), que responden cosas distintas. En una variable continua, el intervalo modal reemplaza a la moda exacta.Viste que los valores extremos afectan más a la media que a la mediana y que imputar con una medida de centro concentra artificialmente los datos. Queda una pregunta abierta: dos conjuntos pueden tener la misma media y la misma mediana y comportarse de forma muy distinta, porque el centro no dice qué tan separados están los datos. En el capítulo 3 mides esa separación con el rango, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación; en el capítulo 4 estudias la forma de las distribuciones, la asimetría y la detección de anomalías.